Halaman
248Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTurunanKompetensi Dasar Pengalaman Belajar• Gradien• Garis tangen/singgung• Stasioner • Fungsi naik/turun• Maksimum/minimum• Titik belokIstilah Penting A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB7Setelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu:3.8 Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar mengguna kan definisi atau sifat-sifat turunan fungsi.3.9 Menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiring an garis singgung kurva.4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta ke miringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual.Melalui pembelajaran materi turunan, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Terlatih berpikir kritis, kreatif dalam menganalisis permasalahan.• Bekerjasama dalam tim dalam menemukan solusi permasalahan melalui pengamatan, diskusi, dan menghargai pendapat dalam saling memberikan argumen.• Terlatih melakukan penelitian dasar terhadap penemuan konsep.• Mengkomunikasikan karakteristik masalah autentik yang pemecahannya terkait turunan.• Merancang model matematika dari sebuah permasalahan autentik yang berkaitan dengan turunan.• Menyelesaikan model matematika untuk menganalisis dan mendapatkan solusi per-masalahan yang diberikan.• Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep turunan berdasarkan ciri-ciri yang dituliskan sebelumnya.• Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan turunan berdasarkan konsep yang sudah dimiliki.
249MATEMATIKA B. Diagram AlirMasalahAutentikTurunan FungsiLimit FungsiFungsiTurunan FungsiTitik StasionerTitik BelokGrafik FungsiFungsi NaikMateriPrasyaratTitik MaksimumTitik Minimum
250Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetelah kamu memahami konsep limit fungsi pada bab sebelumnya, kamu akan mempelajari konsep turunan. Ingat, konsep limit fungsi digunakan pada bab ini.7.1 Menemukan Konsep Turunan Fungsi Turunan merupakan salah satu dasar atau fondasi dalam analisis dan sangat aplikatif untuk membantu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk itu, kamu diharapkan mampu memahami berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi. Kemonotonan, kecekungan, pengoptimalan, titik belok, dan lain sebagainya dapat dianalisis dengan menggunakan konsep turunan. Untuk menemukan konsep turunan, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contohnya. Kita memulainya dengan menemukan konsep garis tangen atau garis singgung.7.1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen Coba kamu amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat sebagai sumber abstraksi kita dalam menemukan konsep dan hubungan antara garis sekan atau tali busur dan garis singgung.Masalah 7.1Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan bukit es. Dia meluncur turun, kemudian naik mengikuti lekukan permukaan es sehingga di suatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali ke permukaan. Perhatikan gambar di samping.Gambar 7.1: Bermain skiSumber: http://www.123rf.com C. Materi Pembelajaran
251MATEMATIKAPermasalahanSecara analitik, misalkan bahwa bukit es diasumsikan sebagai kurva, pemain ski diasumsikan sebuah garis yang tegak lurus ke papan ski serta papan ski adalah sebuah garis lurus lainnya. Dapatkah kamu tunjukkan hubungan kedua garis tersebut? Alternatif Penyelesaian:Coba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan permasalahan di atas ditampilkan dalam bentuk gambar berikut. Garis sekan/tali busur Garis normal Garis singgung y = f(x) P(x1,y1) Q(x2,y2) ∆y∆xxO x1x2y2y1yGambar 7.2: Garis sekan, garis singgung dan garis normalPosisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung. Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal. Bagaimana hubungan garis singgung dengan kurva?Misalkan pemain ski bergerak dari titik Q(x2, y2) dan melayang ke udara pada titik P(x1, y1) sehingga ia bergerak dari titik Q mendekati titik P. Semua garis yang menghubungkan titik Q dan P disebut tali busur atau garis sekan dengan gradien 21sec21yymxx-=-. (Ingat konsep garis lurus).
252Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKCoba kamu amati proses matematis berikut. Misalkan x2 = x1 + Dx dan y2 = y1 + Dy, jika Dx semakin kecil maka Q akan bergerak mendekati P (Jika Dx→ 0 maka Q→P).Perhatikan kembali gambar!Q(x2,y2) garis tangen/singgung P(x1,y1) garis sekan garis sekan garis sekan garis sekan x2x1y2y = f(x) y1xy∆y∆xPQGambar 7.3: Gradien garis sekan mendekati gradien garis singgungJika y = f(x) maka gradien garis sekan PQ adalah:mfxfxxxfxxfxxxxPQ=−−=+−+−()()()()21211111∆∆Definisi 7.1 Misalkan fRR:→adalah fungsi kontinu dan titik Pxy(,)11 dan Qxxyy(,)11++∆∆pada kurva f. Garis sekan menghubungkan titik P dan Q dengan gradien mfxxfxxsec()().=+−11∆∆
253MATEMATIKAAmati kembali gambar di atas. Jika titik Q mendekati P maka Dx→ 0 sehingga diperoleh garis singgung di titik P dengan gradien:mfxxfxxPGSx=+−→lim()()∆∆∆011 (Jika limitnya ada).Definisi 7.2Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva f. Gradien garis singgung di titik P(x1, y1) adalah limit gradien garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis: mmfxxfxxGSxx==+−→→limlim()()sec∆∆∆∆0011.(Jika limitnya ada)Contoh 7.1Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x = 2 pada kurva fxx()=2.Alternatif Penyelesaian:Misalkan x1 = 2 dan y1 = (2)2 = 4 sehingga titik singgung di P(2, 4). Gradien garis singgung adalah: mfxxfxxx=+−→lim()()∆∆∆011⇔ mfxfxPGSx=+−→lim()()∆∆∆022⇔mxxPGSx=+−→lim()()∆∆∆02222⇔mxxxPGSx=++−→lim()∆∆∆∆02444⇔mxxxPGSx=+→lim∆∆∆∆024⇔mxPGSx=+→lim∆∆04⇔mPGS=4.Jadi, persamaan garis singgung adalah y – 4 = 4(x – 2) atau y – 4x + 4 = 0.
254Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLatihan 7.1Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x = –1 pada kurva f(x) = x4.Alternatif Penyelesaian:Misalkan x1 = –1 dan y1 = . . . sehingga titik singgung di P( .... , ....). Jadi, gradien garis singgung adalah: mfxxfxxx=+−→lim()()∆∆∆011mfxfxPGSx=+−→lim(...)(...)∆∆∆0mfxfxPGSx=+−→lim(...)(...)......∆∆∆0Ingat penjabaran [A2 – B2 = (A + B)(A – B)] mfxPGSx=+−→lim[(...)(...)][(...)(...)∆∆02222mPGS =0limD®xlimmPGS =0limD®xlim [ ... ][ ... ]mPGS = ...Jadi, persamaan garis singgung adalah y – (. . .) = (. . .)(x – (. . .)).7.1.2 Turunan Sebagai Limit FungsiSetelah kita kaji konsep garis sekan, garis normal dan garis singgung maka selanjutnya, kita akan mempelajari lebih dalam konsep garis singgung untuk mendapatkan konsep turunan. Coba kamu perhatikan dan amati kembali Gambar 7.3. Jika x2 = x1 + Dx dan y2 = y1 + Dy maka titik Q akan bergerak mendekati P untuk Dx semakin kecil sedemikian gradien garis singgung di titik P disebut turunan fungsi pada titik P, ditulis:mfxfxxfxxxtan=+−→'()lim()()1011∆∆∆(Jika limitnya ada).
255MATEMATIKAJika f kontinu maka titik P dapat berada di sepanjang kurva sehingga turunan suatu fungsi pada setiap x dalam daerah asal adalah:fxfxxfxxx'()lim()().=+−()→∆∆∆0jika limitnya adaTurunan fungsi dapat ditulis dengan,Notasi Newton f'(x) atau y' (Turunan pertama fungsi).Notasi Leibniz dfxdx() atau dydx(Turunan pertama fungsi).Definisi 7.3Misalkan fungsi f : S→R, S⊆R dengan (c – Dx, c + Dx) ⊆S. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika ada lim()()∆∆∆xfcxfcx→+−0.Definisi 7.4Misalkan f : S→R dengan S⊆R. Fungsi f dapat diturunkan pada Sjika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S. Contoh 7.2Tentukan turunan fungsi y = x2.Alternatif Penyelesaian:Jika f(x) = x2 maka f'(x) =+−→lim()()∆∆∆xfxxfxx0=+−−()→lim()()!!!∆∆∆xxxxxnrnr022=++−→lim∆∆∆∆xxxxxxx02222=+→lim()∆∆∆∆xxxxx02=+→lim∆∆xxx02=2x.
256Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDefinisi 7.5Misalkan fungsi f : S→R, S⊆R dengan (c – Dx, c + Dx) ⊆S• Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jika 0limD®xlim+ada.• Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika 0limD®xlim–ada.Berdasarkan pembahasan masalah di atas, suatu fungsi akan dapat diturunkan pada suatu titik jika memenuhi sifat berikut.Sifat 7.1Misalkan fungsi f : S→R, S⊆R dengan x∈S dan L∈R. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis, f’(x) = L0limx+D→=0limx-D→.Keterangan: 1. lim()()∆∆∆xfxxfxx→++−0adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan pada domain S.2. lim()()∆∆∆xfxxfxx→−+−0 adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kiri pada domain S.Contoh 7.3Sketsa grafik fungsi f(x) = |x| dan coba amati dengan cermat turunan fungsi tersebut pada titik O(0,0).
257MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Perhatikan gambar!Gambar 7.4: Kurva fungsi f(x) = |x|Berdasarkan konsep turunan maka xxfxxfxfxD-D+=→D)()(lim)('00limD®xlimjika limitnya ada.i. Jika x≥ 0 maka f(x) = x sehingga:xxfxxfxfxD-D+=→D)()(lim)('00limD®xlim=lim()∆∆∆xxxxx→+−=01 (limit kanan ada).ii. Jika x<0 maka fxx()=− sehingga:xxfxxfxfxD-D+=→D)()(lim)('00limD®xlim=lim()()∆∆∆xxxxx→−+−−=−01 (limit kiri ada).Coba kamu amati proses tersebut, nilai limit kiri dan nilai limit kanan tidak sama sehingga turunan fungsi f(x) = |x| di titik x = 0 tidak ada atau fungsi tidak dapat diturunkan di x = 0 .
258Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK7.2 Turunan Fungsi AljabarMari kita temukan aturan-aturan turunan suatu fungsi berdasarkan limit fungsi yang telah dijelaskan sebelumnya. Coba pelajari permasalahan berikut.Masalah 7.2Coba kamu amati dan bandingkan proses penyelesaian turunan dengan menggunakan limit fungsi berikut.Contoh 7.4a. Jika f(x) = x2 maka f'(x) ==+−→lim()()∆∆∆xfxxfxx0==+−→lim()∆∆∆xxxxx022==+→lim∆∆xxx02= 2x.b. Jika f(x) = x4 maka f’(x) ==+−→lim()()∆∆∆xfxxfxx0==+−→lim()∆∆∆xxxxx044=++()+()+()−→lim∆∆∆∆∆∆xxxxxxxxxxx04322344464=++()+()()→lim∆∆∆∆∆∆xxxxxxxxx03223464= 4x3.
259MATEMATIKAc. Jika f(x) = x100 maka f’(x) =0üD®xlimxxfxxfxD-D+=→D)()(lim0=0limD®xlimxxxxxD-D+=→D1001000)(lim=0limD®xlimxxD=→D?lim0= ...?d. Jika 53)(xxf= maka f’(x) =0limD®xlimxxfxxfxD-D+=→D)()(lim0=0limD®xlimxxxxxD-D+=→D53530)(lim=0limD®xlimxxD=→D?lim0= ...?Dari keempat contoh di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Terdapat kesulitan dan membutuhkan strategi aljabar untuk melanjutkan proses pada Contoh c dan Contoh d. Untuk mengatasi masalah serupa, diperlukan aturan turunan suatu fungsi. Berikut akan dikaji aturan-aturan suatu turunan.a. Turunan fungsi f(x) = axn, untuk n bilangan asli.f'(x) = 0()()limxfx x fxxD→+D -D= = 0()limnnxa xxaxxD→+D -D=(Gunakan Binomial Newton) = 11220...limnnnnnnxaxanxx aC xxa xaxx--D→+ D+D + +D -D= = 11120(...)limnnnnxx anxaC xxa xx---D→D+D+ +DD= = 12120lim...nnnnxanxaC xxa x---D→=+D+ +D = anxn – 1.
260Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLatihan 7.2Coba kamu buktikan sendiri jika f(x) = au(x) dan u′ (x) ada, maka f'(x) = au′ (x).b. Turunan fungsi f(x) = u(x) + v(x) dengan u'(x) dan v'(x) ada. f'(x) = 0limxD→[() ()] [() ()]ux x vx xux vxx+D + +D - +D = 0limxD→[() ()] [() ()]ux x uxvx x vxx+D - - +D -D+ = 0limxD→[() ()]ux x uxx+D -D + 0limxD→[ ()( )]vx x vxx+D -D = u'(x) + v'(x).Latihan 7.3Buktikan bahwa turunan fungsi f(x) = u(x) – v(x) adalah f'(x) = u'(x) – v'(x).Contoh 7.5Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut!a. f(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1.Alternatif Penyelesaian:f'(x) = 5·4x4 – 1 – 4·3x3 – 1 + 3·2x2 – 1 – 2·1x1 – 1 + 1·0x0 – 1f'(x) = 20x3 – 12x2 + 6x – 2b. 31415231)(xxxf-=Alternatif Penyelesaian:13114131.5241.31)('---=xxxf3243152121)('---=xxxf1215.
261MATEMATIKAc. Turunan fungsi f(x) = [u(x)]n dengan u'(x) ada, n bilangan asli.f'(x) = 0limxD→()()fx x fxx+D -D = 0limxD→[()] [()]nnux xuxx+D -D = 0limxD→[() () ()] [()]nnux x ux uxux+D - +- Misal P = [u(x + Dx) – u(x)] = 0limxD→[()] [()]nnP uxuxx+-D(Gunakan Binomial Newton) = 0limxD→1221121[()][()] ...[()][()] [()]nnnnnnnnnnP CP ux CP uxC Puxuxuxx----+++++ -D = 0limxD→122221221[()][()] ...[()][()]nnnnnnnnnnP nP ux CP uxC P uxC Puxx--- ---+++++D = 0limxD→1 222121([()] ...[()][()]n nnnn nnnPPnP uxC PuxC uxx------++++D) = 0limxD→PxD0limxD→1 222121([()] ...[()][()] )n nnnn nnnPnP uxC PuxC ux------++++ Karena 0limxD→PxD = 0limxD→() ()ux x uxx+D -D = u'(x)0limxD→P = 0limxD→u(x + Dx) – u(x) = 0 = u'(x)[0 + n[u(x)]]n – 1 = nu'(x)[u(x)]n – 1.
262Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAturan Turunan 7.1: Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:1. f(x) = a→f'(x) = 02. f(x) = ax →f'(x) = a3. f(x) = axn→f'(x) = n·axn – 14. f(x) = au(x) →f'(x) = au'(x)5. f(x) = u(x) ± v(x) →f'(x) = u'(x) ± v'(x)6. f(x) = u(x)v(x) →f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)7. ()()()uxfxvx=→[ ]2'()() ()'()'( )()u xvx u xv xfxvx-=.Dengan menggunakan aturan turunan tersebut, gradien garis singgung suatu kurva akan lebih mudah ditentukan. Perhatikan contoh berikut!Contoh 7.6Tentukan turunan f(x) = (2x2 – 3x)4.Alternatif Penyelesaian:Misalkan u(x) = 2x2 – 3x sehingga u'(x) = 4x – 3Dengan demikian f(x) = (2x2 – 3x)4 menjadi f(x) = (u(x))4 sehingga f'(x) = 4(u(x))3u'(x).Jadi, f'(x) = 4(2x2 – 3x)3(4x – 3) atau f'(x) = 4(4x – 3)(2x2 – 3x)3.Latihan 7.4Tentukan persamaan garis singgung kurva 2()1xfxx=- di titik P(2, 4).Alternatif Penyelesaian:Langkah 1. Menemukan titik singgungMisalkan x1 = 2 dan y1 = 4 (lihat 22(2)421f==- sehingga titik P(2, 4) berada pada kurva)
263MATEMATIKALangkah 2. Mencari gradien garis singgung:Pertama, kita tentukan turunan pertama dari fungsi 1)(2-=xxxf.Misalkan u(x) = x2 sehingga u'(x) = . . . dan 21)1(1)(-=-=xxxv sehingga v'(x) = . . . . Dengan demikian, fxuxvxuxvxvx'()'()()()'()(())=−2 atau ......)('=xf.Langkah 3: Menemukan persamaan garis singgungGradien garis singgung kurva di titik P(2, 4) adalah f'(x) = . . . sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah y – (. . .) = (. . .)(x – (. . .)).Uji Kompetensi 7.11. Dengan menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien garis singgung fungsi berikut.a. f(x) = 3x2 – 2x + 1b. f(x) = x3 – xc. f(x) = x3 – x–3d. f(x) = 2(1 – x)2e. xxf2)(=.2. Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik dengan absis x = 1 pada setiap fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan limit fungsi.a. f(x) = 2xb. f(x) = 2x2c. f(x) = (2x – 1)3d. 12)(+=xxfe. 22)(xxf=.
264Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3. Garis k menyinggung fungsi f(x) di titik P(a, b). Tentukan titik singgung P tersebut pada masing – masing garis singgung dan fungsi berikut:a. Garis k: 2x – 4x + 3 = 0 menyinggung fungsi f(x) = 2x2b. Garis k: –x + 2y – 3 = 0 menyinggung fungsi f(x) = –4x2 + 2xc. Garis k: x – y = 0 menyinggung fungsi 441)(xxf=d. Garis k: 2x – y – 5 = 0 menyinggung fungsi f(x) = x3 – 10xe. Garis k: –2x + y – 3 = 0 menyinggung fungsi12131)(23+-=xxxf.4. Dengan menggunakan konsep turunan, tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut.a. f(x) = x–3b. f(x) = (2x + 1)–5c. f(x) = x3(2x + 1)5d. 43323221)(xxxf-=e. 42)3121()(xxxf-=f. 32)(-=xxfg. 12)(3-=xxfh. ...!...!3!2!1!01)(32++++++=nxxxxxfni. f(x) = 2x2(–3x + 1)3j. 1214)(-+=xxxf.5. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(–1, 1) pada masing-masing fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan konsep turunan.a. f(x) = (x + 2)–9b. 3212)(-=xxfc. f(x) = –x3(x + 2)–2d. 22)(xxf-=e. 122)(2-+=xxxf.
265MATEMATIKA7.3 Aplikasi TurunanKonsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi, dan titik belok suatu kurva.7.3.1 Konsep Kemonotonan FungsiBangunan yang tinggi dengan lantai bertingkat selalu difasilitasi dengan eskalator atau lift. Gerakan lift dan eskalator saat naik dapat diilustrasikan sebagai fungsi naik. Demikian juga gerakan lift dan eskalator saat turun dapat diilustrasikan sebagai fungsi turun. Amatilah keempat grafik fungsi di bawah ini dan coba tuliskan ciri-ciri fungsi naik dan fungsi turun sebagai ide dasar untuk mendefinisikan fungsi naik dan fungsi turun.xyf(x)xyf(x)Gambar7.5a: Kurva fungsi naikxyf(x)xyf(x)Gambar 7.5b: Kurva fungsi turunDari contoh grafik fungsi naik dan fungsi turun di atas, mari kita definisikan fungsi naik dan turun sebagai berikut.
266Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDefinisi 7.6:Misalkan fungsi f : S→R, S⊆R• Fungsi f dikatakan naik jika "x1, x2∈S, x1 < x2⇒f(x1) < f(x2)• Fungsi f dikatakan turun jika "x1, x2∈S, x1 < x2⇒f(x1) > f(x2)Contoh 7.7Tunjukkan grafik fungsi f(x) = x3, x∈R dan x > 0 adalah fungsi naik.Alternatif Penyelesaian:f(x) = x3, x∈R dan x > 0Ambil sebarang x1, x2∈R dengan 0 < x1 < x2x = x1⇒f(x1) = x13x = x2⇒f(x2) = x23Karena 0 < x1 < x2 maka x13 < x23Karena x13 < x23 maka f(x1) < f(x2)Dengan demikian "x∈S, x1 < x2⇒f(x1) < f(x2). Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik. Latihan 7.5Bagaimana jika f(x) = x3, x∈R dan x < 0, apakah grafik fungsi f adalah fungsi naik? Selidiki!Masalah 7.3Lumba-lumba berenang di lautan bebas. Terkadang, lumba-lumba berenang mengikuti kapal yang melaju di sekitarnya. Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Gerakan lumba-lumba berperiode timbul dan tenggelam di permukaan air laut. Misalkan, lumba-lumba kembali ke permukaan setiap 15 detik dan tampak di permukaan selama 3 detik.Coba kamu sketsa pergerakan lumba-lumba tersebut dalam 2 periode? Tentukan interval waktu agar lumba-lumba tersebut bergerak naik atau turun!
267MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Permukaan air laut 15p 18 0 3336y t q 7,5 16,5 25,5 34,5 Gambar 7.6: Sketsa pergerakan lumba-lumba dalam pengamatan tertentu7,5 16,525,534,50 36t y turun turun turun naiknaikGambar 7.7: Sketsa pergerakan naik/turun lumba-lumba dalam pengamatan tertentuBerdasarkan sketsa di atas, lumba-lumba bergerak turun di interva 075<<t,atau 165255,,<<t atau 34536,<<t dan bergerak naik di interval 75165,,<<t atau 255345,,<<t.Latihan 7.6Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat fungsi turun.
268Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPGS 1 PGS 2 PGS 3 PGS 4 y = f(x) α1α2α3α4Gambar 7.8: Garis singgung di interval fungsi naik/turunAmati dan dapatkan konsep fungsi naik dan fungsi turun dengan panduan berikut.Langkah 1Amati sudut yang dibentuk keempat garis singgung, kemudian tentukan di kuadran berapa keempat sudut terletak.Langkah 2Ingat, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif.Tentukan nilai tangen setiap sudut. (Ingat konsep trigonometri)Lengkapi tabel berikut.Tabel 7.1:Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik dan fungsi turunPGSSudutKuadranNilai tangen)('xfm=Menyinggung di 123456PGS 1a1Im = tan 0)tan(1>=am0)('>xfFungsi NaikPGS 2a2.........Fungsi TurunPGS 3a3.........Fungsi NaikPGS 4a4.........Fungsi Turun
269MATEMATIKACoba kamu amati Gambar 7.8 dan Tabel 7.1! Apakah kamu melihat konsep fungsi naik/turun. Berikan kesimpulanmu!Sifat 7.2Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x∈I maka1. Jika f'(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.2. Jika f'(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.3. Jika f'(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.4. Jika f'(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.Contoh 7.8Tentukan interval fungsi f(x) = x2 agar fungsi naik.Alternatif Penyelesaian:Berdasarkan konsep, syarat fungsi naik adalah f'(x) > 0f'(x) = 2x > 0 sehingga x > 0Jadi, fungsi akan naik pada interval {x|x > 0, x∈R}Contoh 7.9Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f(x) = x4 – 2x2.Alternatif Penyelesaian:Pembuat nol dari f'(x):f'(x) = 4x3 – 4x⇔ 4x3 – 4x = 0⇔4x(x – 1)(x + 1) = 0⇔ x = 0 atau x = 1 atau x = –1Dengan menggunakan interval.1 1−0Interval Turun Interval Turun Interval NaikInterval Naik_ + _ +
270Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKJadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval –1 < x < 0, atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x4 – 2x2berikut.Gambar 7.9: Fungsi naik/turun kurva f(x) = x4 – 2x2Contoh 7.10Tentukan interval fungsi naik xxxf-=2)(.Alternatif Penyelesaian:Masih ingatkah kamu syarat numerus )(xP adalah P(x) ≥ 0. Jadi, syarat numerus xxxf-=2)( adalah x2 – x ≥ 0. Ingatlah kembali cara-cara me-nyelesai kan pertidaksamaan.x2 – x≥ 0 ⇔x(x – 1) ≥ 0⇔x = 0 atau x = 1Dengan menggunakan interval.Jadi, syarat numerus bentuk akar di atas adalah x≤ 0 atau x≥ 1Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f'(x) > 0 sehingga:0212)('2>--=xxxxf⇔ 2x – 1 > 0 karena 02>-xx dan x≠ 0, x≠ 1⇔21>x
271MATEMATIKADengan menggunakan interval.Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval x > 1. Perhatikanlah grafik fungsi xxxf-=2)( berikut! Gambar 7.10: Fungsi naik dan fungsi turun fungsi xxxf-=2)(7.3.2 Nilai Maksimum atau Minimum FungsiSetelah menemukan konsep fungsi naik dan turun, kita lanjutkan pembelajaran ke permasalahan maksimum dan minimum serta titik belok suatu fungsi. Aplikasi yang akan dibahas adalah permasalahan titik optimal fungsi dalam interval terbuka dan tertutup, titik belok, dan permasalahan kecepatan maupun percepatan.
272Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 7.4Seorang anak menarik sebuah tali dan kemudian membuat gelombang dari tali dengan menghentakkan tali tersebut ke atas dan ke bawah. Dia melihat bahwa gelombang tali memiliki puncak maksimum maupun minimum. Dapatkah kamu menemukan konsep nilai maksimum ataupun minimum dari sebuah fungsi?Alternatif Penyelesaian:Gradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya.max max min min PGS 1 PGS 2 PGS 4 PGS 3 y = f(x) x1x2x3x4Gambar 7.11: Sketsa gelombang taliCoba kamu amati gambar di atas. Garis singgung (PGS 1, PGS 2, PGS 3 dan PGS 4) adalah garis horizontal y = c, dengan c konstan. Garis singgung ini mempunyai gradien nol (m = 0). Keempat garis singgung menyinggung kurva di titik puncak dengan absis x = x1, x = x2, x = x3, dan x = x4 sehingga f'(x1) = 0, f'(x2) = 0, f'(x3) = 0, dan f'(x4) = 0. Dari pengamatan, dapat disimpulkan bahwa suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum/minimum) jika m = f'(x) = 0. Titik yang memenuhi f'(x) = 0 disebut titik stasioner. Bagaimana hubungan antara titik stasioner dengan turunan kedua fungsi?
273MATEMATIKAPerhatikan gambar!PGS p PGS a PGS b PGS d PGS c y = f’(x) x2x3x4x6PGS q PGS r x5x1x7AGambar 7.12: Hubungan garis singgung kurva )('xfm=dengan titik stasionerJika y1 = f'(x1) maka titik A(x1, y1) adalah titik maksimum pada Gambar 7.12 sehingga titik dengan absis x = x1 adalah titik stasioner karena f'(x1) = 0. Garis singgung kurva dengan gradien M pada fungsi m = f'(x1) menyinggung di titik x = x1 membentuk sudut sehingga nilai tangen sudut bernilai negatif atau M = m' = f"(x1) < 0. Dengan kata lain, titik A(x1, y1) adalah titik maksimum jika f'(x1) = 0 dan f"(x1) < 0. Kesimpulan: Jika M adalah gradien garis singgung kurva f'(x1) maka M = f"(x) sehingga hubungan turunan kedua dengan titik stasioner disajikan pada tabel berikut.Tabel 7.2: Hubungan turunan kedua fungsi dengan titik optimal (stasioner)PGSGradien M = f"(x)Jenis TitikPergerakan kurvaaMa = f"(x1) < 0MaxNaik-Max-TurunbMb = f"(x2) > 0MinTurun-Min-NaikcMc = f"(x3) < 0MaxNaik-Max-TurundMd = f"(x4) > 0MinTurun-Min-NaikpMp = f"(x5) = 0T. BelokTurun-Belok-TurunqMq = f"(x6) = 0T. BelokNaik-Belok-NaikrMr = f"(x7) = 0T. BelokTurun-Belok-Turun
274Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 7.3Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1∈I sehingga: 1. Jika f'(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut stasioner/kritis2. Jika f'(x1) = 0 dan f"(x1) > 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum fungsi3. Jika f'(x1) = 0 dan f"(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum fungsi4. Jika f"(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.Contoh 7.11Tentukan titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3.Alternatif Penyelesaian 1 (Berdasarkan Konsep Fungsi Kuadrat):Dengan mengingat konsep fungsi kuadrat. Suatu fungsi f(x) = ax2 + bx + cmempunyai titik balik )4,2(aDabB--dimana fungsi mencapai maksimum untuk a < 0 dan mencapai minimum untuk a > 0 sehingga fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 mempunyai titik balik minimum pada BB((),()()()())(,)−−−−−=−421441341212(1)(3).Alternatif Penyelesaian 2 (Berdasarkan Konsep Turunan):Dengan menggunakan konsep turunan maka fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 mempunyai stasioner: f'(x) = 2x – 4 = 0 atau x = 2 sehingga titik stasioner adalah B(2, –1). Mari kita periksa keoptimalan fungsi dengan melihat nilai turunan keduanya pada titik tersebut, yaitu f"(2) = 2 > 0 atau disebut titik minimum. Jadi, titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3 adalah minimum di B(2, –1).
275MATEMATIKAGambar 7.13: Titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3Contoh 7.12Seorang anak berencana membuat sebuah tabung dengan alas berbentuk lingkaran dengan bahan yang berbeda. Tabung yang akan dibuat harus mempunyai volume 43.120 cm3. Biaya pembuatan alas adalah Rp150,00 per cm2, biaya pembuatan selimut tabung adalah Rp40,00 per cm2 sementara biaya pembuatan atap adalah Rp50,00 per cm2. Berapakah biaya minimal yang harus disediakan anak tersebut?Alternatif Penyelesaian:Mari kita sketsa tabung yang akan dibuat. Misalkan r adalah radius alas dan atap tabung, t adalah tinggi tabung, dan p = 227.v = 227r2t = 43.120 ⇔t = 722 × 243.120r.Gambar 7.14: Tabung
276Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBiaya = (Luas alas × biaya alas) + (Luas selimut × biaya selimut) + (Luas atap × biaya atap)⇔ Biaya = 227× r2 × 150 + 2 × 227 × r × t × 40 + 227 × r2 × 50⇔ Biaya = 227× r2 × 150 + 2 × 227 × r × 722 × 243.120r × 40 + 227 × r2 × 50⇔ Biaya = 227 × r2 × 200 + 86.240r × 40.Atau dapat dituliskan:B(r) = 24.4003.449.6007rr+ (fungsi atas radius r (dalam Rupiah)).B'(r) = 28.8003.449.6007rr- = 0⇔887r = 234.496r⇔ r3 = 2.744 = 143⇔r = 14Karena B"(r) = 38.8002(3.449.600)7r+ dan B"(14) > 0 maka titik optimum (minimum)Biaya minimum = 227 × 142 × 200 + 86.24014 × 40= 616 × 200 + 6.160 × 40= 123.200 + 246.400= 369.600Jadi, biaya minimum yang harus disediakan adalah Rp 369.600,00.
277MATEMATIKA7.3.3 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi pada Suatu IntervalMasalah 7.5Coba kamu amati dan bandingkan posisi titik maksimum dan minimum dari keempat gambar berikut.Gambar 7.15: Titik maksimum dan minimum suatu fungsi Kesimpulan apa yang kamu peroleh?
278Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianDaerah asal fungsi pada Gambar A tidak dibatasi, dan konsep ini telah kita bahas pada Masalah 7.4. Daerah asal (domain) fungsi pada (B, C dan D) telah dibatasi sehingga keoptimalan fungsi harus dianalisis apakah berada pada daerah tersebut. Dengan demikian, gambar A adalah posisi titik maksimum/minimum lokal sebuah fungsi dan ketiga gambar lainnya adalah posisi titik maksimum atau minimum global/lokal sebuah fungsi pada daerah tertutup. Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi. Contoh 7.13Sebuah partikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 pada 0 ≤t≤ 6. Tentukan nilai optimal pergerakan partikel tersebut.Alternatif Penyelesaian:Daerah asal fungsi adalah {t|0 ≤t≤ 6}Titik stasioner f '(t) = 0f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 sehingga f '(t) = 3(t2 – 6t + 8) = 0 dan f "(t) = 6t – 18f '(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0t = 2 →f(2) = 4 dan t = 4 →f(4) = 0Karena daerah asal {t|0 ≤t≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga: t = 0 →f(0) = –16 dan t = 6 →f(6) = 20.Nilai minimum keempat titik adalah –16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0, –16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6, 20).
279MATEMATIKAPerhatikan gambar.Gambar 7.16:Titik optimal kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 untuk 0 ≤ t ≤ 6.7.3.4 Konsep Turunan Dalam Permasalahan Kecepatan dan PercepatanSecara arti fisis, konsep turunan yang berkaitan dengan fungsi naik atau turun, nilai optimal maksimum atau minimum serta titik belok berhubungan dengan kecepatan dan percepatan suatu fungsi. Amati dan pelajarilah permasalahan berikut!Masalah 7.6Seorang pembalap melakukan latihan di sebuah arena balap. Dia melaju kencang meninggalkan garis start dengan kecepatan yang diatur dengan baik. Di setiap belokan lintasan, dia menurunkan kecepatannya tetapi berharap dengan secepat mungkin kembali menaikkan kecepatan setelah meninggalkan setiap titik belokan. Demikian dia berlatih dan mendekati titik finish. Apakah kamu dapat menemukan hubungan jarak lintasan dan kecepatan? Dapatkah kamu jelaskan ilustrasi di atas berdasarkan konsep turunan?
280Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalkan lintasan arena balap tersebut adalah lintasan siklis, yaitu garis awal (start) dan garis akhir (finish) adalah sama. Garis awal berarti garis tersebut ditinggalkan atau bergerak dijauhi sementara garis akhir berarti garis yang didekati.Perhatikan gambar berikut:Gambar 7.17: Lintasan balapJarak lintasan merupakan fungsi waktu atau s = f(t). Dengan demikian, daerah asal fungsi adalah waktu t≥ 0 karena dihitung sejak diam. Setiap titik pada lintasan akan didekati dan dijauhi sehingga ada peranan kecepatan v(t). Untuk titik yang dijauhi berarti kecepatan positif (ditambah), dan titik yang akan didekati berarti kecepatan negatif (dikurang).Tabel 7.3: Kecepatan suatu fungsi dan posisinyaPosisiNilaiDiamv(t) = 0Bergerak menjauhi titik tetap (Start)v(t) > 0Bergerak mendekati titik tetap (Finish)v(t) < 0Jadi, bergerak semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti terjadi laju perubahan dari lintasan, yaitu:)(')()(lim)(tfttfttftvt=D-D+=→D0limD®xlim atau v(t) = s'(t).
281MATEMATIKAPergerakan pembalap pada lintasan di titik belok diperlambat atau dipercepat, sehingga posisi percepatan adalah sebagai berikut.Tabel 7.4: Percepatan suatu fungsi dan posisinyaPosisiNilaiKonstana(t) = 0Bergerak diperlambat a(t) < 0 Bergerak dipercepata(t) > 0 Jadi, bergerak dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan. Percepatan a(t) adalah laju perubahan dari kecepatan, yaitu:)(')()(lim)(tvttvttvtat=D-D+=→D0limD®xlim atau a(t) = v'(t) = s"(t).Contoh 7.14Pada pengamatan tertentu, sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah pola yang merupakan fungsi jarak s atas waktu t, yaitu s(t) = t4 – 6t2 + 12. Tentukanlah panjang lintasan dan kecepatan pada saat percepatannya konstan.Alternatif Penyelesaian:Diketahui : s(t) = t4 – 6t2 + 12Ditanya : s(t) dan v(t) pada saat a(t) = 0Proses penyelesaianKecepatan adalah turunan pertama dari fungsiv(t) = s'(t) = 4t3 – 12t.Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatana(t) = v'(t) = 12t2 – 12 = 0⇔ 12(t + 1)(t – 1) = 0.Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga:v(1) = s'(1) = 4(1)3 – 12(1) = –8s(1) = (1)4 – 6(1)2 + 12 = 7.
282Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 7.15Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0,25t2 + 0,5t (cm2). Tentukan kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit.Alternatif penyelesaian pertama (dengan Numerik):Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu.Perhatikan tabel!Tabel 7.5. Nilai pendekatan f(t) = 0,25t2 + 0,5t pada saat t mendekati 5Waktu (t)∆t = t – 5∆f = f(t) – f(5)ftDD1–4–822–3–6,752,253–2–52,54–1–2,752,754,5–0,5–1,43752,8754,9–0,1–0,29752,9754,99–0,01–0,0299752,99754,999–0,001–0,002999752,999754,9999–0,0001–0,0002999972,99997550,00000?5,00010,00010,0003000023,0000255,0010,0010,003000253,000255,010,010,0300253,00255,10,10,30253,0255,50,51,56253,125613,253,25
283MATEMATIKADengan melihat tabel di atas, pada saat t mendekati 5 maka ∆t mendekati 0 dan f(t) akan mendekati 3 (cm2/menit).Alternatif Penyelesaian kedua (dengan konsep Limit): = 50, 5(0, 53, 5)(5)5limtttt→+-- = 5limt→0,5(0,5t + 3,5)= 0,5(0,5 × 5 + 3,5)= 3.Alternatif Penyelesaian ketiga (dengan konsep Turunan):f(t) = 0,25t2 + 0,5tf '(t) = 0,5t + 0,5 = 0f '(5) = 2,5 + 0,5 = 3.Kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit adalah 3 (cm2/menit).7.4 Menggambar Grafik FungsiBerdasarkan konsep turunan yang diperoleh di atas, maka kita dapat menggambar kurva suatu fungsi dengan menganalisis titik stasioner, fungsi naik atau turun, titik optimalnya (maksimum atau minimum) dan titik belok. Perhatikan dan pelajarilah contoh berikut.
284Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 7.16Dengan menggunakan konsep turunan, analisis kurva fungsi f(x) = x2 – 2x.Alternatif Penyelesaian:a. Menentukan titik stasioner (f '(x) = 0)f '(x) = 2x – 2 = 0 atau x = 1Titik stasioner P(1, –1)b. Menentukan interval fungsi naik/turun Fungsi naik pada (f '(x) > 0)f '(x) = 2x – 2 > 0 atau x > 1Fungsi turun pada (f '(x) < 0)f '(x) = 2x – 2 < 0 atau x < 1c. Menentukan titik belok (f "(x) = 0)f "(x) = 2 ≠ 0Tidak ada titik belokd. Menentukan titik optimumUji titik stasioner ke turunan kedua fungsif "(x) = 2 > 0 disebut titik minimum di P(1, –1).Gambar 7.18: Grafik f(x) = x2 – 2x
285MATEMATIKALatihan 7.7Analisis dan sketsa kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3.Langkah 1. Tentukan nilai pembuat nol fungsi atau f(x) = 0.Langkah 2. Tentukan titik stasioner atau f '(x) = 0.Langkah 3. Tentukan interval fungsi naik f '(x) > 0 atau fungsi turun f '(x) < 0.Langkah 4. Tentukan jenis titik balik fungsi dengan menganalisis kecekungan fungsi.Langkah 5. Tentukan titik belok atau f "(x) = 0.Langkah 6. Tentukan beberapa titik bantu.Uji Kompetensi 7.21. Jika adalah turunan pertama fungsi x dan adalah turunan keduanya, maka tentukan turunan kedua fungsi-fungsi berikut.a. f(x) = 3x – 2b. f(x) = –2x2 – xc. f(x) = –x4 + 2x2 – 4d. f(x) = (3x – 2)2e. 12)(+=xxxf.2. Tentukan titik balik fungsi-fungsi berikut!a. f(x) = x2 – 2xb. 433221)(2-+-=xxxfc. f(x) = x3 – xd. f(x) = x3 – 6x2 – 9x + 1e. f(x) = x4 – x2.
286Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3. Tentukan titik belok fungsi-fungsi berikut!a. f(x) = x2 + 2xb. 433221)(2-+-=xxxfc. f(x) = x3 – 6xd. f(x) = x3 – 6x2 – 9x + 1e. f(x) = x4 – 4x2.4. Analisis dan sketsa bentuk kurva dari fungsi-fungsi berikut dengan menunjukkan interval fungsi naik/turun, titik maksimum/minimum dan titik belok!a. f(x) = x2 – 2xb. f(x) = x3 – xc. f(x) = x4 – x2 d. 11)(-=xxfe. 12)(+-=xxxf.5. Analisis (fungsi naik/turun, maksimum/minimum, titik belok) kurva dari suatu fungsi berdasarkan sketsa turunan pertamanya berikut.a.
287MATEMATIKAb. c. d.
288Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK6. Seorang anak menggambar sebuah kurva tertutup setengah lingkaran dengan diameter 28 cm. Lalu, dia berencana membuat sebuah bangun segi empat di dalam kurva tersebut dengan masing-masing titik sudut segi empat menyinggung keliling kurva. a. Sketsalah kurva tertutup setengah lingkaran tersebut.b. Buatlah segi empat yang mungkin dapat dibuat dalam kurva. Sebutkanlah jenis-jenis segi empat yang dapat dibuat.c. Hitunglah luas masing-masing segi empat yang diperoleh.d. Segi empat yang manakah yang mempunyai luas terbesar? Carilah luas segi empat terbesar yang dapat dibuat dalam kurva tersebut dengan menggunakan konsep differensial.7. Sebuah segi empat OABC dibuat pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y dan kurva fungsi y = (x – 1)2. Jika O adalah titik asal koordinat, A pada sumbu x, B pada kurva dan C pada sumbu y maka tentukanlah persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik B agar luas OABC maksimum. Sketsalah permasalahan di atas.8. Seorang karyawan berencana akan tinggal di rumah kontrakan setelah dia diterima bekerja di sebuah pabrik. Untuk menghemat biaya pengeluaran, ia berharap dapat tinggal di kontrakan yang tidak jauh dari tempat dia bekerja dan uang sewa kontrakan yang juga mendukung. Jika dia tinggal x km dari tempat bekerja maka biaya transportasi adalah c rupiah per km per tahun. Biaya kontrakan adalah 1+xb per tahun (dalam rupiah), dengan b dan c adalah konstanta bernilai real positif dan b > c. Dapatkah kamu tentukan biaya minimum pengeluaran karyawan tersebut?
289MATEMATIKA D. PenutupKita telah menemukan konsep turunan fungsi dan sifat-sifatnya dari berbagai pemecahan dunia nyata. Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat turunan fungsi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut:1. Misalkan f: R→R adalah fungsi kontinu dan titik P(x1, y1) dan Q(x1 + Dx, y1 + Dy) pada kurva f. Garis sekan adalah yang menghubungkan titik Pdan Q dengan gradien msecxxfxxfmD-D+=)()(11sec2. Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva. Gradien garis tangen/singgung di titik P(x1, y1) adalah nilai limit garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis .3. Misalkan fungsi f: S→R, S⊆R dengan (c – Dx, c + Dx) ⊆S dengan Dx > 0. Fungsi f dapat diturunkan pada titik c jika dan hanya jika nilai 0limD®xlimxcfxcfxD-D+→D)()(lim0ada.4. Misalkan f: S→R dengan S⊆R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan pada setiap titik c di S. 5. Misalkan fungsi f: S→R, S⊆R dengan c∈ S dan L∈R. Fungsi f dapat di-turunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai turun-an kanan, ditulis: f'(c) = L⇔Lcxcfxfcxcfxfcxcx=--=---+→→)()(lim)()(lim0limD®xlim+0limD®xlim–.
290Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK6. Aturan Turunan: Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real pada interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:a. f(x) = a→f'(x) = 0b. f(x) = ax → f'(x) = ac. f(x) = axn→ f'(x) = axn – 1a. f(x) = au(x) →f '(x) = au'(x)b. f(x) = a[u(x)]n→f '(x) = au'(x)[u(x)]n – 1c. f(x) = u(x) ± v(x) →f '(x) = u'(x) ± v'(x)d. f(x) = u(x)v(x) →f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)e. f(x) = ()()uxvx→ f '(x) = 2'()() ()'()[ ( )]u xvx u xv xvx-.7. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada x∈Imakaa. Jika f'(x) > 0 maka kurva selalu naik pada interval Ib. Jika f'(x) < 0 maka kurva selalu turun pada interval Ic. Jika f'(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah turun pada interval Id. Jika f'(x) ≤ 0 maka kurva tidak pernah naik pada interval I.8. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan ada turunan pertama dan kedua pada x1∈I sehingga: a. Jika f'(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x1)) disebut dengan stasioner/kritis.b. Jika f'(x1) = 0 dan f"(x1) > 0 maka titik P(x1, f(x1)) disebut titik balik minimum fungsi.c. Jika f'(x1) = 0 dan f"(x1) < 0 maka titik P(x1, f(x1)) disebut titik balik maksimum fungsi.d. Jika f"(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x1)) disebut titik belok.
291MATEMATIKA9. Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu: atau v(t) = s'(t).Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu: atau a(t) = v'(t) = s"(t).Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi integral. Materi prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, limit fungsi, dan turunan. Hal ini sangat berguna dalam penentuan integral suatu fungsi sebagai antiturunan. Semua apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.